2001統計力学II     Q&A-1(10/12)                    <<<戻る

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Q's

• エントロピーの熱力学定義S=d'Q/Tと、統計力学の定義 S=k_Blog D Gと
  はホントに同じなの？　(浅原)
  
  
• T→∞で、dS /dE = 一定、と言われましたが、このときなぜ、「すべての状態
  にランダムに分布」しているのですか？　また、どうしてEが少しくらい増えて
  もSは変わらないのですか？(富沢)
  
  
• Gibbsの補正(1/N !)が付く場合と付かない場合の区別が未だにわかりません。(田中)
  
  
• Gibbsの補正(1/N !)で二種類の粒子A, Bがある場合、どうなるのですか？(藤田)
  
  
• スピン集団は極低温で必ず何かをやらかすって具体的には？(乙黒)
  
  
• ミクロカノニカルと、カノニカル、グランドカノニカルの使い分け方は？(三宅)
  
  
• Slaterの行列式の定義で、行列の右下についている"±"の意味は？(村越)
  
  
• E_iとN_iが同じ添字iでも互いに独立というのは？(加藤)
  
  
• <A>=ΣAP_iでなくて<A>=ΣAP_i／ΣP_i となる理由は何ですか？(梅田)
  
  
• 二準位問題をミクロカノニカルで解くとき、W=_nC_n+と、n+の方だけ
  取って、n-を無視したのはなぜですか？(柳沢)
  
  
• スピンの位置が固定されているとどうして、体積V がエントロピーや
  分配関数に入らないの？(村井)
  
  
• スピンの位置が固定されて動かない場合って固体のことなんですか？
  だとしたら熱力学って固体にも使えるのですか？(梶田)
  
  
• グランドカノニカルって簡単に言うと何ですか？(小林)
  
  
• 黒板が一年生の時より整理されていて良かった。(森野)

A's

• エントロピーの熱力学定義S=d'Q/Tと、統計力学の定義 S=k_Blog D Gと
  はホントに同じなの？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP

回答) 非常に重要な質問なのですが、、、既習ではないですか？

まず、熱力学第一法則より、体積一定(∴仕事無し)なら、dE = d'Q です。
ここで、X=k_BlogWという量 (まだ何かわからない) を考えると、その変化分は、
dX = dX/dE×dE = dX/dE×d'Q
次に、統計力学的温度 t を   1/t = dX/dE 　で定義すれば、
dX = d'Q / t
となって、エントロピーの式dS = d'Q / Tと一致するので、X をエントロピーと
見なして良いだろうと考えるわけです。
なお、統計力学的温度は、全微分dX の係数ですから、熱力学の温度Tと
定数倍を除いて一致します。その定数がボルツマン定数k_Bというわけです。

＊なお、状態数を用い、全く別の証明が、統計物理(丸善、川村) p.43に載っています。

＊なお、S=1/2のスピンですと、S=k_Blog2 となり、何やら「数学的な値log2」
　 がエントロピーという熱に関係した量に入っています。驚くべきことに、
   実験的にエントロピーを、比熱の測定から求めると、このlog2という数学的な
   値に実際に一致します。

• T→∞で、dS /dE = 一定、と言われましたが、このときなぜ、「すべての状態
  にランダムに分布」しているのですか？　また、どうしてEが少しくらい増えて
  も S は変わらないのですか？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<<<TOP
  
  高温ではエネルギーが高いため、いろいろな状態をランダムに占有できます。
  高いエネルギーの状態を選択的に占有しないのは、古典粒子の運動エネルギー
  分布や、黒体輻射のプランク分布を思い出してみれば明らかでしょう。
  
  そのような高温で、全エネルギーを少し増やして、ある粒子を、少し上の状態
  を占有できるようにしてあげたところで、所詮ランダムですから、状態数は
  殆ど増えません。
  
  これに対し、絶対零度では、状態数＝１ですが、少しでも温度を上げて、
  エネルギーを増やすと、途端に、状態数＝N に激増します (N は粒子数)。
  以下に古典粒子の場合のイメージ(ミクロカノニカル)を描いて置きます。
  
  なお、下の絵は準位が沢山ある場合ですが、二準位系(e =0,1)であれば、
  S(E) = k_Blog(_NC_E) と簡単に計算できますから、Excel等で試して見ては
  いかがでしょうか。ちなみに温度は微分が必要ですが、今の場合Eは離散値
  ですから、dS(E)/dE=[S(E+1)-S(E)] / [E+1-E ] と差分で近似してやります。
  レポート問題にちょうど良いですね。
  
  ( E = 0,  絶対零度、状態数は1、よって、S = 0 )
  -------------------------------------
  -------------------------------------
  -------------------------------------   ：
  -------------------------------------   ：
  ------------------------------------- E = 1
  -●-●-●-●-●-●-●-●-●-●-●-●- E = 0
  
  ( E = 1,  状態数はどの粒子が一つ上がるかによって N 通り、
  　　　　　∴S = k_BlogN  となり、 E = 0 に比べて激増 )
  -------------------------------------
  -------------------------------------
  -------------------------------------   ：
  -------------------------------------   ：
  -------●---------------------------- E = 1
  -●-●-●-●-●-●-●-●-●-●-●---- E = 0
  
  ( E = 19の例 ,  かなり高温、状態数は非常に多い)
  ------------------------------------- E = 5
  -------●-●------------------------- E = 4
  -------●-●------------------------- E = 3
  ----------●------------------------- E = 2
  ----●-●-●------------------------- E = 1
  ----●-●-●-●---------------------- E = 0
  
  ( E = 20の例 ,  かなり高温、状態数は非常に多いが、
  　　　　　　　　　　上のE = 19 と比べて激増しているわけではない )
  ----------●------------------------- E = 5
  ----------●------------------------- E = 4
  -------●-●------------------------- E = 3
  ----------●------------------------- E = 2
  ----●-●-●------------------------- E = 1
  ----●-●-●-●---------------------- E = 0
  
  
  
  
  
• Gibbsの補正(1/N !)で二種類の粒子A, Bがある場合、どうなるのですか？ <<<TOP
  
  A, Bが入れ替わったら、別状態、A同士, B同士なら、同じ状態、と考えるのですから、
  Gibbsの補正はおっしゃるように、1／(N_A !・N_B !)  です。
  
  
  
  
• Gibbsの補正(1/N !)が付く場合と付かない場合の区別が未だにわかりません <<<TOP
  
  • 付く場合： 粒子が動き回っている場合。
    　　　　(例 　古典的理想気体)
    
  • 付かない：粒子の居る場所が固定されていて、止まっている場合。
            （例　 演習問題に良く出てくる、調和振動子やスピンの問題)
    
  • 付かない：粒子数表示する場合(既にGibbs補正とは別の補正が付いている)。
            （例   フェルミ統計、ボース統計）
    
    
    
• スピン集団は極低温で必ず何かをやらかすって具体的には？　　  　<<<TOP

磁気転移(スピンの方向が一方向に揃ってしまう。つまり、永久磁石)、
近藤効果(局在スピンと自由電子のスピンが一重項状態になって磁性を失う)
スピンギャップ(局在スピン同士が、一重項状態になって磁性を失う)

などの現象が知られており、熱心に研究されています。
詳しくは固体物理 I または II で。

• ミクロカノニカルと、カノニカル、グランドカノニカルの使い分け方は？　<<<TOP
  
  基本的には、問題を解くにあたって計算が一番簡単なものを使えば良いのです。
  ただ、例外もあって、講義でやったように、超微粒子などのように「粒子数が
  完全に固定されている系」ではグランドカノニカルは使えません。
  
  試験対策的な役に立つ回答としては、
  • 「場合の数を計算せよ」 → ミクロカノニカル
  • 「粒子数Nの系」 → カノニカル
  • 「金属中の自由電子、フォノン、光子、Boson、Fermion」→ グランドカノニカル

  と言ったところでしょうか。
  

  
  

• Slaterの行列式の定義で、行列の右下についている"±"の意味は？　　<<<TOP
  
  −は、普通の行列式です。2×2の行列では、ad-bc です。
  ＋は、置換の偶奇にかかわらず、足してしまう。 今度は、ad+bc となります。
  
  
  
  
• E_iとN_iが同じ添字iでも互いに独立というのは？                             <<<TOP 
  
  数理物理演習IIIでやったそうですが、わかりましたか？
  
  
  
  
• <A>=ΣAP_iでなくて<A>=ΣAP_i／ΣP_i となる理由は何ですか？ 　　<<<TOP 
  
  もし、１＝ΣP_i  が成り立っていれば<A>=ΣAP_i です。
  ちなみに、P_i ＝exp(-E_i/kT)  と書いたときは、１＝ΣP_i  は成り立っていません。
  
  
  
• 二準位問題をミクロカノニカルで解くとき、W=_nC_n+と、n₊の方だけ
  取って、n_- を無視したのはなぜですか？                                         <<<TOP
  
  n₊を選べば残りは全てn_-で、必然的に決まるからです。
  
  
  
  
• スピンの位置が固定されているとどうして、体積V がエントロピーや
  分配関数に入らないの？                                                             <<<TOP 
  
  
  パウリの排他律という量子効果が効かないからです。
  (排他律が効く場合は、系の体積によって、周期境界条件が変わり、粒子の
  運動エネルギーが変化します)。
  
  
  
• スピンの位置が固定されて動かない場合って固体のことなんですか？
  だとしたら熱力学って固体にも使えるのですか？　　　　　　　<<<TOP
  
  その通りです。熱力学と統計力学は、気体、液体、固体全てに適用
  されます。金属や誘電体、超伝導体、磁性体などさまざまな物質から、
  中性子星まで、およそ沢山の粒子のあるところ、何でも取り扱います。
  
  但し、固体と言っても、金属中の自由電子は、ご存知のように動き回っています
  から、自由電子は全く異なった取り扱い(フェルミ統計)が必要です。
  
  
  
• グランドカノニカルって簡単に言うと何ですか？　　　　　　　　　<<<TOP
  
  小正準集合：粒子数はN個に限定、全ての状態は同じエネルギーを持つ。
  　 正準集合：粒子数はN個に限定、各状態は、異なるエネルギーを持っていてよい。
  大正準集合：粒子数は何個でも良く、各状態は、異なるエネルギーを持っていてよい。
  
  分配関数を計算するとき、下のものほど、束縛条件が少なくなるので、
  「やみくもに」和を取ることができて、計算が楽なのです。
  
  
  
• 黒板が一年生の時より整理されていて良かった。　　　　　　　　　<<<TOP
  
  はて、私(後藤)は一年生の講義は一度も受け持ったことが無いのですが、、、、。
  解析力学(二年次)の講義のことでしょうか、、、、何はともあれ良かったです。

 
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