変分法の例

平面内の二点(x₁,y(x₁)), (x₂,y(x₂)) を結ぶ曲線で、長さが最短なものを探そう。

関数y(x)をいろいろ変えて(すなわち、y(x)→y(x)+dx(x) として)、平面内における曲線の長さ∫dx√{1+y'^2}の極値を求める。いわば、「極関数」を探すことになる。

曲線の始点・終点は固定してあるとする( dx(x)=0 )から、

を得る。これを解けば、y=ax+b、すなわち、平面内の二点を結ぶ曲線で最短なものは直線。