○質問

1. 最小作用の原理がまだ良くわからない、、、。

2. ラグランジアンの扱い方がまだによくわからない。

3. 特解を求める方法がわかりにくい。経験と言われても、、、。

4. 摩擦と外力を含んだ振動のところが復習が追いつかない。

5. 温度が高いと釣合位置がずれる理由がわからない。
   

熱膨張の原因が理解できて良かった。

6. 摂動法がよく理解できない、あるいはもっと詳しく知りたい

7. 摂動法で微少量を、消したり残したりする基準がわからない。

8. 摂動法の近似を進めた第二近似の部分(x⁴の項)がよく分からなかった
   

9. 摂動法で、固有振動数と同じ振動項が現れたときにそれをゼロと断定する理由が

わかりにくい

10. 摂動法で、異なる振動数が現れたときの波の形が理解出来ない。

11. 非線型の振動のポテンシャルの項がどうしてx³やx⁴ のような形になるのかわからない
    
    

12. 非線型項の効果で二つの波が重なるときに、新たな波が発生する場合にエネルギー

保存則は成り立っているのか。

13. 非線型項が存在するときに、二つの解の和が解にならない理由がよくわからない。

非線型項の効果で二つの波が重なるときになぜ新たな波が発生することがあるのか。


14. ラジオやテレビの異なる電波同士で重なり合って混じらないのはなぜか。

15. 基準座標を求めるときに、最初から固有ベクトルで元の座標を展開しても良いのか

16. 暗記する必要があるのはどのようなことか。

17. 力学的相似のご利益がわからない

18. 過減衰と臨界減衰の条件の違い


　

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• 最小作用の原理がまだ良くわからない、、、。 <<<TOP

運動の始点終点の位置と時刻を固定したときに、運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを差し
引いた量を積分した量が必ず最小になるということなのです。

似た話としては、光の進路についてのフェルマーの定理があります。要するに光は、最短時間で済む
ような経路を進むということですが、式で書くと、n(x)を場所xの屈折率，dsを微小長さとして、
∫n(x)dsが最小になるということで、最小作用の原理とよく似ています。

もしポテンシャルが存在しない場合はもちろん、等速直線運動をします。これがもし、等速直線運動
から少しずれたとすると、
　∫[v+δv(t)]²dt=∫v²+2vδv(t)+δv(t)²dt=∫v²+δv(t)²dt > ∫v²dt
と作用積分は必ず大きくなってしまします。(∴終点距離は固定とするのですから∫δv(t)dt=0 です)。
ですから、たとえポテンシャルが存在する場合でも「質点は等速直線運動をしたい」のが本音です。
しかし、無理矢理、等速直線運動をしてしまうとポテンシャルの項∫U(t)dtが効いてきて、作用積分
が大きくなってしまう可能性が出てきます。よって、Uの小さな所はさっと通り過ぎ、Uの大きなところ
に長く滞在するような運動にすることで、S=∫T-Udtを最小にするのです。

なんだか、速さ(運動エネルギー)と浮き沈み(ポテンシャル)の兼ね合いで、運動が決まる、
というのは人生の縮図と対応しているような気がしてきますが、実際、大昔の物理学者で、
最小作用の原理とキリスト教の神学とを結び付けようとした人もいたそうです。
 

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• ラグランジアンの扱い方がまだによくわからない。 <<<TOP

習うより慣れろと言いますから、まずは一次元の易しい例題について、
    自由質点　L=v²/2m
    重力場中の質点　L=v²/2m-mgx
    調和ポテンシャル中の質点 L=v²/2m-kx²/2
    クーロン力で反発する二つの電荷 L=v₁²/2m+v₁²/2m-q²/|x₁-x₂|
などを、オイラーラグランジュ方程式に代入して運動方程式を導く練習をしてみてはいかがでしょうか。


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• 特解を求める方法がわかりにくい。経験と言われても、、、。 <<<TOP

よろしい。秘訣を披露いたしましょう。
微分方程式を、x'+ax=f(t) とすると、f(t)=0の場合の一般解は、Aを任意定数として、
x(t)=Aexp(-at)　となります。
f(t)≠0の場合、まず、その一般解にf(t)をそのまま加えて代入して微分方程式に代入してみます。
そして、右辺と等しくなるように、加えたf(t)を定数倍したり、別の項をさらに加えたりしてみるのです。
具体例を挙げると、

　

• f(t)＝C (定数) の場合

ともかく定数をx(t)に加えてみると、左辺の第一項では微分されて消えてしまいます。第二項は、
a倍されてしまいますから、加える定数をC/aとしておけば右辺と一致することがわかります。よって、
特解：x=C/a です。

• f(t)＝bt　(b は定数)の場合

これもともかくそのままbtを加えてみると、
x'+ax=(bt)'+a(bt)=b+abt
ですから、右辺のbtと一致しません。そこで、まず、
1) btではなく、bt/aとしてみると、
x'+ax=(bt/a)'+a(bt/a)=b/a+bt
となって、二項目が、右辺と一致してくれました。しかし、一項目のb/aが邪魔です。そこで、
2) 定数-b/a²をさらに加えてみます。定数ですから微分すると消えてしまいますから、
x'+ax=(bt/a -b/a²)'+a(bt/a -b/a²)=b/a+bt-b/a=bt
と、無事に右辺と一致します。よって、
特解： x=bt/a-b/a²

• f(t)＝AsinΩt ( Ａ、Ωは定数 )

• 微分して三角関数が出るのは三角関数しかありません。それも同じ振動数に限ります。
  logでもexpでも楕円関数でも絶対にダメで、とにかく、三角関数だけです。よって、BcosΩt+CsinΩt
  を加えてみます。すると、
  -BΩsinΩt+CΩcosΩt+aBcosΩt+aCsinΩt = (-BΩ+aC)sinΩt + (CΩ+aB)cosΩt
  となりますから、右辺と一致させるためには、
  -BΩ+aC=A  および  CΩ+aB=0   とすればよいことがわかります。整理すると、
  ∴C=-aB/Ω より、-BΩ-a²B/Ω=-B・(Ω+a²/Ω)=A となり、
  特解： x=BcosΩt+CsinΩt、但し、B=-AΩ/(a²+Ω²)、C=-aA/(a²+Ω²)
  

• 摩擦と外力を含んだ振動のところが復習が追いつかない。 <<<戻る

実は「摩擦」を含んだ量子力学のラグランジアンやハミルトニアンは、物理学のメゾスコピックの
分野で最先端の分野です。チャレンジを続けて。

⇒メゾスコピック──手に取れる大きさの物体(マクロスコピック〜1cm)と、
　 原子・電子レベルの大きさ(ミクロスコピック〜1Å)の中間の大きさの物体(100〜1000Å)で
　 何が起こるか研究する分野です。たとえば、鉄を細かく砕いて行って微粒子にしただけで、
　 比熱の大きさや、磁化のようす(強磁性⇒超常磁性)が変わってきます。

• 温度が高いと釣合位置がずれる理由がわからない。 <<<戻る

温度が高いと、熱エネルギーのために、振動の振幅が大きくなります。温度のエネルギーはk_BT
ですから、等分配則より、k_BT≒mω²A²となって振動の振幅が増えます。振幅が大きくなると、
ポテンシャルのx³の項の影響が効いてきて、釣合位置がずれるというわけです。


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• 摂動法がよく理解できない、あるいはもっと詳しく知りたい。 <<<戻る

摂動法を説明したのは、あくまで量子力学の準備です。量子力学の摂動法を予習されるのが、
ベストと考えます。
 
• 摂動法で微少量を、消したり残したりする基準がわからない。 <<<戻る

ルール0） どの変数が微少量かチェック
             講義ではεが微少量でした

ルール1) べき次数別の和の形に整理して、何次まで残すか決める。
　　　　　　べきになっていない場合はテイラー展開します

例)    ω=ω₀+εω⁽¹⁾ でεが微少量の場合、
εの一次まで残す場合は、たとえば、
        ω²=ω₀²+2ω₀ε+ε²[ω⁽¹⁾]²≒ω₀²+2ω₀ε と近似します。
べきでない場合は、たとえば、
        cosωt=cos((ω₀+εω⁽¹⁾)t) = cosω₀t・cosεω⁽¹⁾t−sinω₀t・sinεω⁽¹⁾t
                 ≒cosω₀t・(1-[εω⁽¹⁾t]²/2) −sinω₀t・εω⁽¹⁾t
                 ≒cosω₀t −sinω₀t・εω⁽¹⁾t
 　　　となりますが、これにεをかけたεcosωtでは、あくまで1次まで取ることを考えると、
　　　 εcosωt=εcosω₀t −sinω₀t・ε²ω⁽¹⁾t≒εcosω₀t
となります。このように、項全体の係数がどうなっているかもきちんと考えなければなりません。　

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• 摂動法の近似を進めた第二近似の部分(x⁴の項)がよく分からなかった。 <<<TOP

講義で計算を省略してしまいましたのでごもっともな意見です。
詳しい計算過程を以下に記しておきます。

    第二近似(x⁴の項)の計算
 

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• 摂動法で、固有振動数と同じ振動項が現れたときに、それをゼロと断定する理由が
  わかりにくい。 <<<戻る

運動方程式が摩擦無し、外力有りの場合と同じになってしまうからです。「摩擦無し外力有り」では、
エネルギー保存則より、どんどんエネルギーが流入して来ますから、振幅はどんどん大きくなり、
発散してしまいます。実際には外力などかけていないのにもかかわらず、そんなことが起こるはず
がありません。ですから、ゼロと断定したのです。
 
• 摂動法で、異なる振動数が現れたときの波の形が理解出来ない。<<<TOP

ぜひ、自分でグラフを作ってみて下さい。
sin(x)+0.3・sin(6・x)ぐらいが見やすいと思います。
電卓を片手に方眼紙に書き込んでもいいですし、パソコンを使って、ExcelやGnuplot、Sma4winなどのグラフを作成できるソフトウェアで描いて見るのが良いでしょう。この程度のことであれば、
計算機室のTAは、鼻歌まじりでやり方を教えてくれるはずです。関数のグラフがどのよう
な形になるか、さっとパソコンで計算できる技術は物理学科の学生として必須です。


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• 非線型の振動のポテンシャルの項がどうしてx³やx⁴ のような形になるのかわからない<<<TOP

そのとおりです。現実の問題におけるポテンシャルの形は「全く」わかりません。想像もつきません。
しかし、ひとつだけ分かっていることがあります。振動の問題を考えているのですから、質点はつり
あい位置に居るのです。その場所をx₀とすればdU(x₀)/dx=0となります。
よって、その場所x₀の周りでUをテイラー展開してやると、
U(x)=U(x₀) + (x-x₀)²/2・d²U(x₀)/dx² + (x-x₀)³/6・d³U(x₀)/dx³ + (x-x₀)⁴/24・d⁴U(x₀)/dx⁴ +・・・
となります。座標の原点をx₀にずらしてやると、
U(x)=U(0) + x²/2・d²U(0)/dx² + x³/6・d³U(0)/dx³ + x⁴/24・d⁴U(0)/dx⁴ +・・・
です。各項の係数の大きさがどうなるかは依然として雲の中ですが、少なくとも関数の形として
x³やx⁴が出てくることはおわかりいただけると思います。
 

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• 非線型項の効果で二つの波が重なって、新たな波が発生する場合にエネルギー保存則は

成り立っているのか。<<<TOP
成り立っています。新しい波が出来た分だけ、元の波のエネルギー(∝振動数)および運動量
(∝波数)は減少します。
 

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• 非線型項が存在するときに、二つの解の和が解にならない理由がよくわからない。
非線型項の効果で二つの波が重なるときになぜ新たな波が発生することがあるのか。<<<TOP

線型方程式とは、
x"(t)+bx'(t)+cx(t)=0
のように、xの1次式のみを含んだ形をしています(x²やx³，x'x，sin(x')などは含みません)。
このような方程式に、二つの解x_Aおよびx_Bがあったとすると、
x_A"(t)+bx_A'(t)+cx_A(t)=0, x_B"(t)+bx_B'(t)+cx_B(t)=0
が成り立つはずです(解なのですから)。すると、その和x_A+x_Bについても、
(x_A+x_B)"+b(x_A+x_B)'+c(x_A+x_B)=x_A"(t)+bx_A'(t)+cx_A(t)+x_B"(t)+bx_B'(t)+cx_B(t)=0+0
と、解になることがわかります。これはあたりまえです。次に、

非線型方程式の場合は、
x"(t)+bx'(t)*x(t)+cx(t)²=0  あるいは、x"(t)³+x(t)=0
のように、xの二次以上のべきを含んでいます。一番簡単な例として、
x"(t)+bx'(t)+cx(t)²=0
を考えましょう。先ほどの、x の項だけを自乗したものです。これに対する二つの解をx_Aとx_Bとすると、
x_A"(t)+bx_A'(t)+cx_A(t)²=0, x_B"(t)+bx_B'(t)+cx_B(t)²=0
が成り立ちます。しかし、その和x_A+x_Bについては(ここが肝心)、
(x_A+x_B)"+b(x_A+x_B)'+c(x_A+x_B)²=x_A"+bx_A'+cx_A²+x_B"+bx_B'+cx_B²+2cx_Ax_B=0+0+2cx_Ax_B
となり、最後のクロスタームが残ってしまいますので、解にならないことがわかります。

この新たに現れた項を消して運動方程式を満たすために、どうしても新しい波が現れなければならないのです。
 

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• ラジオやテレビの異なる電波同士で重なり合って混じらないのはなぜか。<<<TOP

電磁波が伝わる「宇宙空間」の性質が、線型だからです。
よって、どんなに多くの電波が飛び交っても、重ね合わせの法則で、素通りしてくれます。このため、
受信する際に、共振回路を使って目的の周波数の電波を選別するだけで、ひとつの放送を受信
できるのです。
注) 共振回路の性能が悪いために、異なる周波数の電波が混じって来るのを、「混信」と言います。
　　 これに対し、非線型回路(音声信号を取り出すための検波回路や、周波数変換回路など)ある
　　 いは、増幅回路の非線型性に対して、異なる周波数の電波が混じって来るのを、「混変調」と
　　 言います。両者は全く性質の異なる現象で、原因や対策も別です。 ex JFφRPA/7


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• 基準座標を求めるときに、最初から固有ベクトルで元の座標を展開しても良いのか<<<TOP

OKです。いろいろな解き方で問題を解けるようにしておくのは大変重要です。

• 暗記する必要があるのはどのようなことか。<<<TOP

試験は手書きメモ持込可としますので、棒暗記は不要です。

• 力学的相似のご利益がわからない<<<TOP

全く計算を行うこと無しにいろいろな物理現象を予測・把握できるという極めて強力な手法です。この考え方を進めたものを「スケーリング」と言って、乱れを含んだ\物質の電気伝導を研究する際にも実際に使われています。

• 過減衰と臨界減衰の条件の違い<<<戻る

二次方程式から求められる振動数ωの二つの解が一致するときが、臨界減衰です。