数理物理及び演習�V　Q&A (2000年度)　　　　　T.Goto　email: gotoo-t@sophia.ac.jp

注)等幅フォント(MS明朝、MSゴシックなど)で見てください。
プロポーショナルフォント(MS Ｐ明朝、ＭＳ　Ｐゴシックなど)では数式が乱れると思います。　　　　　　<戻る>

1.　調和振動子とエルミート多項式

A1-1)　Date: Fri, 19 May 2000 09:06:25 +0900 (JST)
Subject: 数理物理及び演習�Vの質問

--5月17日の5の問題なんですけど、古典論と、量子論の比較が良く分かりませんでした。ここは、授業の最後だったので、少し速足だった為、理解ができませんでした。あと、質問の仕方が悪いとは思うのですが、途中の式変形が良く分かりませんでした。数式をメールに送れないので、具体的には言えないのが残念です。結論としては、結局nを無限大にまで持っていくと、古典論での結果と一致する事を言いたかったのですか？ですから、古典論と量子論の関連と言うか、どのようにしたら、古典論が量子論に発展するのかが分かりません。その点も、出来たら簡単に教えてもらえたら幸いなのですが…
よって、出来ればその事をもう一度簡単でいいですので、次の授業あたりに説明してもら嬉しいです。

Q1-1)　Date: Fri, 19 May 2000 14:44:46 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理及び演習�Vの質問

後藤＠数理物理演習III担当です。
1) 式をメールで書くときのやり方は、特に決まった規則は無いのですが、基本的にはLaTeX
の記法に従い、簡略化できるところは簡単に書く、ということで良いでしょう。
例えば、　添字は a_{2k}、　ギリシャ文字は全角文字のλやω (または\lambda, \omegaなど)
プランク定数は、hbar、　べき乗はx^2、　微分はf',　f", 　次数が大きいときは f^{n}、
指数関数などは exp(-x^2/2)
和は、Σ(a_(n+2)・(s+n+2)(s+n+1))
　　　(n=-2〜∞)
のように書くと良いと思います。この際、メールソフトウェアで、必ず、表示フォントを等幅フォント
にします。(MS明朝やsystemなどはOK。MS明朝Pはダメ)。

2) 結論はそうなのですが、n→∞で本当に一致するかどうかの計算は結構大変だと思います。演習の目的は、n＝5〜6程度でも、かなり古典論の結果と似ていることを自分でコンピュータでグラフを描いて確かめて欲しい、ということだったのです。

3) 量子論の結果を古典的に考えるには、普通、「波束」の概念を使います。色々な波動関数を足し合わせて、ある座標の一点で大きな値を取る(すなわち、質点です)ようにして、その重心がどういうふうに運動するのかを計算すると、古典論と一致します。

　　(裳華房)原島鮮「量子力学」p48〜
　　(講談社)猪木(いぎ)慶治・河合光「量子力学I」p16〜
　　(培風館)米谷民明「量子論入門講義」

などを参考にしてみて下さい。

逆に古典論の結果を量子論と比較するのは、ある点における質点の存在確率を計算すれば良く、これが前回の演習でやった方法です。
後藤 　5月19日

A1-2)　Date: Fri, 19 May 2000 13:15:05 +0900 (JST)
Subject: 数理物理演習３の質問

５月１７日の講義で、
f"-2yf'+(λ-1)f = 0 にイ’、ロ'を代入した際、
イ’S=0, λ= 4k+1 　　ロ’S=1, λ= 4k+3 だから
f"-2yf'+4kf = 0, 　　　　f"-2yf'+2(2k+1)f = 0
になるんじゃないでしょうか？講義では
f"-2yf'+2kf = 0,　　　　 f"-2yf'+2(k+1)f = 0
となっていたのですが？

また、講義の最後で、量子論では振幅もとびとびということが出てきたのですが、これは具体的にどういう現象をしめすのですか？あとゼロ点振動に付いても次回詳しく講義して下さい。（トンネル効果はわかりました）

Q1-2)　Date: Fri, 19 May 2000 14:19:17 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理演習３の質問
後藤＠数理物理演習III担当です。
1) 2kを新たにkと書けば最後の式となります。n≡2kとおいたと云うことです。

2) エネルギーがとびとびの値しか取らないということです。現象としては、振動子を揺すって振幅を大きくしてやろうとしても、弱い力で揺すったのでは振幅は全く増えない、ということです。(ちょうど、次のエネルギーに達するような強さの力で揺すると初めて振幅が増えます)。

後藤 　5月19日

Q1-3) Date: Tue, 30 May 2000 10:34:04 +0900 (JST)
Subject: 数理物理演習�Vに関する質問
質問は、同封してあるファイルにあります。
No２の3番の問題で、先生が授業中に板書した内容について質問があります。
多項式法の、n>-2 の項について
s=0の場合
{　}=a_n+2×(n+2)(n+1)-2a_n×n+(λ-1)a_n=0
　　　　　2n+1+λ　　　　n⇒∞　2　　n+1/2+λ/2　　　　　　　2
∴a_n+2=　─────×a_n　──→　──×──────　a_n　〜　─　a_n
　　　　(n+2)(n+1)　　　　　　　n+2　　　n+1　　　　　　　　n+2

というところがよく分かりません。

　　　2　　n+1/2+λ/2　　　2/n　　1+1/2n+λ/2n　　　　n⇒∞　　　1
a_n+2=　─×─────　a_n＝───×───────　a_n　──→　0×─　a_n〜0×a_n
　　　n+2　　n+1　　　　　1+2/n　　　1+1/n　　　　　　　　　　　　1

となり、2a_n/(n+2)には収束しないと思うのですが、それと同様に、s=1の場合で

　　　　　2n+3+λ　　　n⇒∞　　2　n+3/2+λ/2　　　　　　2
∴a_n+2=　─────×a_n　──→　─×─────　a_n　〜　─　a_n
　　　　(n+3)(n+2)　　　　　　　n+2　　n+3　　　　　　　n+2

というところも

　　　2　　n+3/2+λ/2　　　2/n　　1+3/2n+λ/2n　　　n⇒∞　　1
a_n+2=　─×─────　a_n＝───×──────　a_n　──→　0×─　a_n　〜0×a_n
　　　n+2　　n+3　　　　　1+2/n　　　1+3/n　　　　　　　　　　　1

となるのではないかと思います。

A1-3) Date: Tue, 30 May 2000 13:12:37 +0900 (JST)
From: gotoo-t@sophia.ac.jp
Subject: Re: 数理物理演習�Vに関する質問

後藤＠数理物理演習III担当です。

良い質問です。講義でもここは注意せよ、と云ったはずなのですが、確かにわかりにくいところです。n→∞ではa_nの係数は、nのニ乗分のnなのですから、確かにゼロに収束します。

しかし、注意しなければならないのは、たとえゼロに収束する数列でも、その和は収束するとは限らないということです。

例えば、1/nはn→∞で0に収束します(あたりまえ)。しかし、その和Σ1/nは良く知られているように発散します。

ですから、講義では、係数が単に収束するかどうかではなく、1/nからどれだけずれているかを調べようとしたのです。
T. Goto(May 30)

Q1-4) Subject: 数理物理演習の質問。
Date: Tue, 30 May 2000 19:22:00 +0900

質問；

5月31日のプリント、問５以降にでてくる、|ｎ>のやり方がわかりません。
昇降演算子をつかって、a＾ｎ（a+）＾ｎなどを計算し、∫（φnのスター）φnｄｘ＝１
で規格化して行くという、量子力学１のやり方とは、やっぱりちがうのでしょうか。教えて下さい。

A1-4) Date: Wed, 31 May 2000 10:17:57 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理演習の質問。
後藤＠数物演習III担当です。
量子力学Iでの解き方は知らないのですが、aⁿa^†nを計算するやり方は、レポート問題Iに載せてあります(問7〜9)。
演習プリントNo3でのやり方はそれとは異なり、|n>に対して、まずaあるいはa^†を1回作用させると、エネルギーはどう変化するかという漸化式を求めるのです。その漸化式を繰り返し使うと、|n>を|0>で表わすことが出来ます。なお、|n>の規格化は、|0>が規格化されているとして<n|n>を計算すればすぐにわかります。

後藤 5/31

Q1-5) Date: Wed, 31 May 2000 12:34:29 +0900 (JST)
Subject: 質問メール

こんにちは。
大変遅くなりましたが、質問メールです。
授業中にやった範囲なんですが、おねがいします。

Ｎｏ．２の問題３の多項式法の部分で、ｆを微分方程式に代入したあと、

Σ{ａｎ+２（s+n+2)(s+n+1)-2an(s+n)+(λ-1)an}yn+s

の式のあと、a_-2=a_-1=0と定義
とありますが、なぜこういう風に定義する事ができるんでしょうか？

A1-5) Date: Wed, 31 May 2000 13:34:53 +0900 (JST)
From: gotoo-t@sophia.ac.jp
Subject: Re: 質問メール

もともとfの解の形を、f=y^sΣa_n・y^n(Σの範囲はn=0,1,2,..)
のように「仮定」したからです。この式にはa_{-1}やa_{-2}は入っていませんから、
和の範囲を±∞まで広げて

f=y^sΣa_n・y^n(Σの範囲はn=..-2,-1,0,1,2,..)

と書くと、両者を一致させるためには、n<0であるようなa_nは全てゼロとしなければなりません。

後藤 5/31

Q1-6)Date: Wed, 31 May 2000 12:47:16 +0900 (JST)
To: gotoo-t@sophia.ac.jp
数理物理演習�V 質問

プリントNO.3
演算子 aとa^† はどういうものですか？
方程式を解くときの無次元化などの様に、扱いやすいように勝手に決めてしまったものですか？それとも 演算子自体に意味があるのですか？

A1-6)Date: Wed, 31 May 2000 13:50:37 +0900 (JST)
後藤＠数物演習III担当です。良い質問です。

aとa^†は、ハミルトニアンのn番目の固有状態|n>に作用させると、そのまま|n>になる(固有状態)ではなく、全然知らない別の状態になるのでもなく、n±1番目の固有状態|n±1>に変えてしまうような演算子です。

このような演算子は、角運動量の固有状態の問題(S^±)や、フェルミオンの演算子(c, c^†)など、他の問題でも多く見られます。一般的に言うと、量子力学では、ハミルトニアンの固有状態と固有状態の間を飛び移させる(遷移)ような演算子を見つけることが大事だ、というわけです。

Q1-7)Date: Wed, 31 May 2000 13:13:37 +0900 (JST)
Subject: 数理物理及び演習�V質問

質問1 プリントNo.1 問２Hn(x)とHm(x)の直交性は、
∫dxH_n・H_m
の値がn=mで0かどうかで与えられると思うのですが、この問で、exp(-x²) を乗じているのはどうしてですか。

質問２ プリントNo.2 問3
板書に、a₂=a_-1=0と定義、とありましたが、これは、
a_-2=a_-1=0の誤りではないでしょうか。
また、仮定の中ではaに関する条件はa₀≠0としかされていませんが、このように定義できるのはどうしてですか。

質問３ プリントNo.2 問3
nが大きい時のa_n+2とa_nに関する漸近式は、ｎ→∞の時にこのように近似できる
のはわかりますが、ｎが小さい数の時はこのような近似はできないのではないでしょうか。
特に、その後で、n→∞で発散してしまうことから、a_n=0となるように計算を進めています。
この時、ｎは小さい数で考えているから、やはり上のような近似はできないと思うのですが･･･。

A1-7)　Date: Wed, 31 May 2000 14:11:16 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理及び演習�V質問
後藤＠数物演習III担当です。

1)大変良い質問です。内積の定義が、∫dx Hn Hmで与えられるのは、決まった話ではありません。ベクトル空間の授業で教わった通り(教わったはずです)、内積やノルムの定義は様様で、その定義を変えることで、バラエティに富んだベクトル空間が生まれるのです。
今の場合は、内積の定義を∫dx Hn・Hm・e^{-x^2} としたときのベクトル空間の基底ベクトルは、エルミート多項式になる、ということです。このe^{-x^2}をe^{-x}に変えたり、積分範囲を変えたりすると、また別の特殊多項式が生まれます。(ルジャンドル多項式やラゲール多項式など)。

2)まず、おっしゃるとおり、a_{-2}=a_{-1}=0です。定義というよりは、和(Σ)の範囲をn<0まで広げても等しい結果を得るためには、0にしなければならない、と言った方が正しいですね。

3)確かに、漸近式が成り立つのはn→∞のときだけです。nが小さいときは一致しません。ですから、もし、途中のnでa_n=0にならないと、exp{+y^2}に一致するのは、nが∞の極限においてのみです。しかし、nが有限の範囲のΣは、あくまで有限のべき級数の和ですから、exp{-x^2}を乗じてやれば遠方で収束しますから規格化可能です。よって、nが非常に大きな範囲のみをチェックすればよいということになるのです。

その大きな範囲(n＝かなり大きい∞〜本当の∞)で和を計算すると、exp{+y^2}に近くなってしまうので、ダメだと言っているのです。

後藤5/31

Q1-8) Date: Tue, 1 Jun 1999 23:14:57 +0900
Subject: 数理物理及び演習�Vの質問

No.2のQ２について質問します。
問題に「どうしてこのような変換を行うかも考えよ」とあるのですが、授業で聞き逃してしまったためにいまいち何故このような変換をしなくてはならないのか分かりません。

A1-8) Date: Fri, 2 Jun 2000 10:48:05 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理及び演習�Vの質問
後藤＠数物演習担当です。
yが大きな極限での方程式の解(これは簡単にわかりますね)をくくりだしたのです。

二階の微分方程式を解く一般的方法は存在しませんから、遠方での解やあるいは逆にゼロ近傍での解をくくり出してみる、という便法で、ケースバイケースで対応して行くのです。

後藤

Q1-9) Date: Wed, 31 May 2000 17:25:36 +0900 (JST)
Subject: 数理物理演習�V
古典論と、量子論の比較が良く分かりません。
古典論と量子論の関連と言うか、どのようにしたら、古典論が}量子論に発展するのかが分かりません。

あと、これは大した質問ではないのですがデカルト座標から極座標への変換の目的はなんですか？　これは量子力学に限ったことではないのですがとりあえず、量子力学においてはどのような目的で座標変換するのですか？また、その座標変換はどんな場合に必要なのですか？

A1-9) Date: Thu, 1 Jun 2000 18:38:53 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理演習�V
後藤＠数物演習です。

1)
古典論と量子論の比較は、歴史的なものは、どの教科書にも載っているはずですし、基礎物理コース・量子力学Iの両方でやったはずと思います。ですから、質問の意味は、おそらく、どのような系に対してシュレディンガー方程式を適用してよいか、ということでしょう。野球のボールの運動に適用して良いのか、と言うことを聞きたいのでしょう。答えは適用してOKです。今回やった調和振動子の問題では、x^2の曲面上の野球のボールを当てはめると、周期は数秒程度ですから、hbar×ωは非常に小さく、
固有エネルギーE=hbar×ω×(n+1/2)
は、nに対してほぼ連続的に変化できます。これは古典論の結果と同じです。電子や他の素粒子では、質量が非常に小さいので、hbar×ωが大きくなり、固有エネルギー(≡振動の振幅)がとびとびの値しか取らなくなるのです。

2)
古典論での運動x=x(t)、すなわち、位置座標の時間依存性に対応させるためには、量子論では、波束の概念を用います。色々な波数の波(波動関数)を寄せ集めて、座標の、「ある点」における粒子の存在確率だけを大きくしてやるのです。こうして波束を作ってやると、<x>=∫ψ*・x・ψdx がどういう運動(＝時間変化)をするかがわかり、それは古典論と一致することが証明できます。
(猪木(いぎ)慶治・河合光「量子力学I」(講談社)p16〜などを参考にしてみて下さい)。

なお、調和振動子の固有状態の解では、ある範囲に存在確率が広がっていて、どの位置に粒子が居るのかはわかりません。(単純に<x>を求めるとゼロになります。分布が対称だからです)。

3)
座標変換は、問題が解けるように、とか、問題の見通しが良くなるように、という目的で行います。基本的には力学や解析力学の座標変換と同じと思って結構です。

後藤

Q1-10)　Date: Wed, 31 May 2000 19:36:20 +0900 (JST)
Subject: 数理物理演習�Vの質問
今回(３回目）の授業の最後でＨが対角化するように|n>を選んだという話がありましたが、ピンときませんでした。自然な流れで決まったような気もするのですが。

A1-10)　Date: Thu, 1 Jun 2000 16:00:34 +0900 (JST)
Subject: Re: 数理物理演習�Vの質問

後藤＠数物演習担当です。
>>Hを対角化するように|n>を選んだ、、、ピンときませんでした

それは、最初に、「固有状態を|n>とする」と定義(|n>の形はまだわからなくとも)してしまい、後から、|n>の形や性質を調べていったからです。

あからさまに、対角化を行う努力を味わうには、基底ベクトルをGaussian×xⁿ　などとしてハミルトニアンを書いてみるとよいでしょう(授業の最後でちょっとだけやったことです)。

後藤

Q1-11) Date: Tue, 20 Jun 2000 13:22:28 +0900 (JST)
Subject: 数理物理演習�V質問メール

No3の（８）の問題で，分からないところがあります。|n> (n=0,1,2,・・・）を基底ベクトルとして、Hやa,a+を行列（無限次元）で書くとどうなるか。という問題の解答で、
a|n>=Cn|n+1>　より、aはベクトル間の演算子なので行列表示できて
a=
| 0 C1 0 ...........|
| 0 0 C2 0 .........|
| 0 0 0 C3..........|
|...................|
|...................|

となるのが分かりません。
例えばn=1のときa|1>=C1|2>となりますが、このa|1>の１というのは，１行目，C1|2>の２というのは，２行目という意味なのでしょうか？この辺りの定義がよく分かりません。

A1-11)　Date: Tue, 20 Jun 2000 13:49:43 +0900 (JST)
From: gotoo-t@sophia.ac.jp
Subject: Re: 数理物理演習�V質問メール

後藤＠演習III担当です。

大変重要なことです。ブラケットや演算子をベクトル成分表示する際には、基本ベクトル(基底)とそれらを並べる順番を決めなければいけない。異なる基本ベクトルや、異なる順番を採用すれば、成分表示も変わって来る、ということは教わったと思います。

今の問題でも基本ベクトルは何か、ということをまずしっかり押さえておくことが肝心です。今の場合、基本ベクトルはハミルトニアンの固有状態としています。
すなわち、H|n>=En|n> が成り立つような、|n>です(n=1,2,3...)。

次に、基本ベクトルの並べ方は、今の場合、
最低エネルギー＝hbar・n/2を取る|1>を、1番目の基本ベクトル,
次に低いエネルギー＝hbar・3n/2を取る|2>、を2番目の基本ベクトル,
その次に低い、、、、(以下省略)
としています。

ここまで判ったところで、固有状態のケットをベクトルで書くと、
|1>=(1,0,0,0...), |2>=(0,1,0,0...), |3>=(0,0,1,0,0,...)
となるわけです。

ですから、質問に対する回答としては、|n>の中のnの意味は、「ハミルトニアンの固有状態で、エネルギーが低い方から数えてn番目のものを示す」、ということになります。ただ、基本ベクトルをその順番通りに並べたので、そのままn番目の基本ベクトル(成分表示すれば、第n成分)となります。

注)|n>の番号の付け方を1からにしていますが、これは見やすいからです。0からにしても同じです。
|0>=(1,0,0,0...), |1>=(0,1,0,0...), |2>=(0,0,1,0,0,...)
となるだけです。